过双曲线x^2-y^2/4=1的中心作两条互相垂直的射线交双曲线于A，B两点。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/30 08:30:48
过双曲线x^2-y^2/4=1的中心作两条互相垂直的射线交双曲线于A，B两点。
(1)求弦AB中点P的轨迹方程。
(2)双曲线的中心O到直线AB的距离。
(3)弦长AB长度的最小值。

第一小题我做出来了，可是P点轨迹方程是四次的：48x^4+3y^4-24x^2y^2-64x^2-4y^2=0（确定没有算错）。

可是后面两题没法做了，高手来帮忙看看后面两题啊!

设AB方程为y=kx+b
刚刚已经得到4k^2-3b^2+4=0 b^2=4(k^2+1)/3
原点到AB的距离d=|k*0+b-0|/√(1+k^2)
d^2=b^2/(1+k^2)=[4(1+k^2)/3]/(1+k^2)=4/3
设AB中点为P
则AB=2OP
要求AB最小值，既求OP最小值
OP^2=[(x1+x2)/2]^2+[(y1+y2)/2]^2
=(x1^2+x2^2+y1^2+y2^2+2x1x2+2y1y2)/4
又x1x2+y1y2=0
且由4x1^2-y1^2=4 4x2^2-y2^2=4
得4(x1^2+x2^2)-8=(y1^2+y2)^2
代入得OP^2=(5x1^2+5x2^2-8)/4=5(x1^2+x2^2)/4-2
又x1+x2=2kb/(4-k^2) x1x2=(b^2+4)/(k^2-4)
故x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2
=(3k^2b^2-4k^2+4b^2+16)/(4-k^2)^2
再把b^2=4(k^2+1)/3代入求最小值即可
不知道有没有算错，总之得到一个k的4次式除以k的四次式
令t=k^2变为2次式，再利用判别式法或求导法去解
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